python数据结构之算法分析

x33g5p2x  于10个月前 转载在 Python  
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🇨🇳奥运会看着真热血呀,但也不能忘记学习!在python的数据结构的章节中,我们上次学习到了python面向对象的思想,即我们想用程序来实现一个东西,我们需是用对象的特征来描述我们想构建的对象。感兴趣的小伙伴可以查看下面内容👇:

  • python数据类型: python数据结构之数据类型.
  • python的输入输出: python数据结构之输入输出、控制和异常.
  • python数据结构之面向对象: python数据结构之面向对象.

🍉今天我们来学习的内容是面试题中都避免不小了的问题,就是算法分析了,什么是算法分析,算法分析是用来分析一个算法的好坏的,大家完成一件事情写不一样的算法,就需要算法分析来评判算法的好坏,最常见的就是程序的复杂的O(n)。

1.算法分析的定义

有这样一个问题:当两个看上去不同的程序 解决同一个问题时,会有优劣之分么?答案是肯定的。算法分析关心的是基于所使用的计算资源比较算法。我们说甲算法比乙算法好,依据是甲算法有更高的资源利用率或使用更少的资源。从这个角度来看,上面两个函数其实差不多,它们本质上都利用同一个算法解决累加问题。

计算资源究竟指什么?思考这个问题很重要。有两种思考方式。

  • 一是考虑算法在解决问题时 要占用的空间或内存。解决方案所需的空间总量一般由问题实例本身决定,但算法往往也会有特定的空间需求。
  • 二是根据算法执行所需的时间进行分析和比较。这个指标有时称作算法的执行 时间或运行时间。要 衡 量 sumOfN 函数的执行时间,一个方法就是做基准分析。也就是说,我们会记录程序计算出结果所消耗的实际时间。在 Python 中,我们记录下函数就所处系统而言的开始时间和结束时间。time 模块中有一个 time 函数,它会以秒为单位返回自指定时间点起到当前的系统时钟时间。在首尾各调用一次这个函数,计算差值,就可以得到以秒为单位的执行时间。

举个例子:我们需要求解前n个数之和,通过计算所需时间来评判效率好坏。(这里使用time函数,并计算5次来看看大致需要多少时间)

  • 第一种方法:循环方案
import time
def sumOfN2(n): 
        start=time.time()
        thesum=0
        for i in range(1,n+1):
            thesum=thesum+i
        end=time.time()
        return thesum,end-start
#循环5次 
for i in range(5):
     print("Sum is %d required %10.7f seconds" % sumOfN2(10000))

结果如下:

  • 第二种方法:公式方法
#直接利用求和公式
def sumOfN3(n): 
        start=time.time()
        thesum=(1+n)*n/2
        end=time.time()
        return thesum,end-start
for i in range(5):
     print("Sum is %d required %10.7f seconds" % sumOfN3(10000))

结果如下:

直觉上,循环方案看上去工作量更大,因为有些步骤重复。这好像是耗时更久的原因。而且,循环方案的耗时会随着 n 一起增长。然而,这里有个问题。如果在另一台计算机上运行这个函数,或用另一种编程语言来实现,很可能会得到不同的结果。如果计算机再旧些,sumOfN3 的执行时间甚至更长。
我们需要更好的方式来描述算法的执行时间。基准测试计算的是执行算法的实际时间。 这不是一个有用的指标,因为它依赖于特定的计算机、程序、时间、编译器与编程语言。我们希 望找到一个独立于程序或计算机的指标。这样的指标在评价算法方面会更有用,可以用来比较不同实现下的算法。

2. 大O记法

试图摆脱程序或计算机的影响而描述算法的效率时,量化算法的操作或步骤很重要。如果将每一步看成基本计算单位,那么可以将算法的执行时间描述成解决问题所需的步骤数。确定合适的基本计算单位很复杂,也依赖于算法的实现。
对于累加算法,计算总和所用的赋值语句的数目就是一个很好的基本计算单位。在 sumOfN 函数中,赋值语句数是1(thesum=0)加上n(thesum=thesum+i),可以将其定义为函数T TT,令T ( n ) = 1 + n T(n)=1+nT(n)=1+n。参数n常被常称为问题规模。,可以将函数解读为“当问题规模为 n 时,解决问题所需的时间为T ( n ) T(n)T(n),即需要1+n步。
随着计算机科学家的深入研究,他们发现,精确的步骤数中并没有T ( n ) T(n)T(n)函数中起决定作用的部分重要。例如:T ( n ) = 5 n 3 + 3 n 2 + 1 T(n)=5n^3+3n^2+1T(n)=5n3+3n2+1,随着问题规模的增长,5 n 3 5n^35n3才是最重要的部分。于是就诞生了数量级也叫做大O记法,记作O ( f ( x ) ) O(f(x))O(f(x)),他提供了步骤数的一个有用的近似方法。假设某算法的步骤数是T ( n ) = 5 n 3 + 3 n 2 + 1 T(n)=5n^3+3n^2+1T(n)=5n3+3n2+1,则它的数量级是O ( n 3 ) O(n^3)O(n3).
这里为了让大家知道一些函数的增长速度,我决定将一些函数的列举出来。

:计算如下程序的步骤数,和数量级大O

a = 5
b = 6
c = 10
for i in range(n): 
    for j in range(n): 
        x = i * i 
        y = j * j 
        z = i * j 
for k in range(n): 
    w = a * k + 45  
    v = b * b
d = 33

这段程序的赋值次数为T ( n ) = 3 + 3 n 2 + 2 n + 1 T(n)=3+3n^2+2n+1T(n)=3+3n2+2n+1,大O记法为O ( n 2 ) O(n^2)O(n2),大家可以自己算一下。

3. 不同算法的大O记法

这里我们采用不同的算法实现一个经典的异序词检测问,所谓异序词,就是组成单词的字母一样,只是顺序不同,例如heart和earth,python和typhon。为了简化问题,我们假设要检验的两个单词字符串的长度已经一样长。

3.1 清点法

该方法主要是清点第 1 个字符串的每个字符,看看它们是否都出现在第 2 个字符串中。如果是,那么两个字符串必然是异序词。清点是通过用 Python 中的特殊值 None 取代字符来实现的。但是,因为 Python 中的字符串是不可修改的,所以先要将第 2 个字符串转换成列表。在字符列表中检查第 1 个字符串中的每个字符,如果找到了,就替换掉。

def anagramSolution1(s1, s2):
    alist = list(s2)
    pos1=0
    stillOK = True
    while pos1 < len(s1) and stillOK:
          pos2 = 0
          found = False
          while pos2 < len(alist) and not found:
                if s1[pos1] == alist[pos2]:
                   found = True
                else:
                   pos2 = pos2 + 1
          if found:
                alist[pos2] = None
          else:
                stillOK = False
          pos1 = pos1 + 1
    return stillOK

来分析这个算法。注意,对于 s1 中的 n 个字符,检查每一个时都要遍历 s2 中的 n 个字符。 要匹配 s1 中的一个字符,列表中的 n 个位置都要被访问一次。因此,访问次数就成了从 1 到 n 的整数之和。这可以用以下公式来表示。

因此,该方法的时间复杂度是O ( n 2 ) O(n^2)O(n2)

3.2 排序法

尽管 s1 与 s2 是不同的字符串,但只要由相同的字符构成,它们就是异序词。基于这一点, 可以采用另一个方案。如果按照字母表顺序给字符排序,异序词得到的结果将是同一个字符串。

def anagramSolution2(s1, s2):
       alist1 = list(s1)
       alist2 = list(s2)
       alist1.sort()
       alist2.sort()
       pos=0
       matches = True
       while pos < len(s1) and matches:
             if alist1[pos] == alist2[pos]:
                pos = pos + 1
             else:
                matches = False
      return matches

乍看之下,你可能会认为这个算法的时间复杂度是O ( n ) O(n)O(n),因为在排序之后只需要遍历一次就可以比较 n 个字符。但是,调用两次 sort 方法不是没有代价。我们在后面会看到,排序的时 间复杂度基本上是O ( n 2 ) O(n2 )O(n2)或 O ( n l o g n ) O(nlogn)O(nlogn) ,所以排序操作起主导作用。也就是说,该算法和排序过程的数量级相同。

3.3 蛮力法

用蛮力解决问题的方法基本上就是穷尽所有的可能。就异序词检测问题而言,可以用 s1 中 的字符生成所有可能的字符串,看看 s2 是否在其中。但这个方法有个难处。用 s1 中的字符生 成所有可能的字符串时,第 1 个字符有 n 种可能,第 2 个字符有 n-1 种可能,第 3 个字符有 n-2 种可能,依此类推。字符串的总数是n ∗ ( n − 1 ) ∗ ( n − 2 ) ∗ . . . . . . ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 n/(n-1)/(n-2)/*....../*3/*2/*1n∗(n−1)∗(n−2)∗......∗3∗2∗1,即为n ! n!n!也许有些字符串会重复,但程序无法预见,所以肯定会生成n ! n!n!个字符串。
当 n 较大时, n! 增长得比2n还要快。实际上,如果 s1 有20个字符,那么字符串的个数就 是 20!= 2432902008176640000 。假设每秒处理一个,处理完整个列表要花 77146816596 年。 这可不是个好方案。

3.4 计数法

最后一个方案基于这样一个事实:两个异序词有同样数目的 a、同样数目的 b、同样数目的 c,等等。要判断两个字符串是否为异序词,先数一下每个字符出现的次数。因为字符可能有 26 种,所以使用 26 个计数器,对应每个字符。每遇到一个字符,就将对应的计数器加 1。最后, 如果两个计数器列表相同,那么两个字符串肯定是异序词。

def anagramSolution4(s1, s2):
       c1=[0]*26
       c2=[0]*26

       for i in range(len(s1)):
           pos = ord(s1[i]) - ord('a')
           c1[pos] = c1[pos] + 1

       for i in range(len(s2)):
          pos = ord(s2[i]) - ord('a')
          c2[pos] = c2[pos] + 1
       j=0
       stillOK = True
       while j < 26 and stillOK:
             if c1[j] == c2[j]:
                j=j+1
             else:
                stillOK = False
       return stillOK

这个方案也有循环。但不同于方案 1,这个方案的循环没有嵌套。前两个计数循环都是 n 阶 的。第 3 个循环比较两个列表,由于可能有 26 种字符,因此会循环 26 次。全部加起来,得到总步骤数 T (n) =2n - 26 ,即 O(n) 。我们找到了解决异序词检测问题的线性阶算法。

4. 列表和字典操作的复杂度

4.1 列表

4.2 字典

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