数据结构——堆排序详解

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1.堆的概念及结构

如果有一个关键码的集合K = {k0,k1, k2,…,kn-1},把它的所有元素按完全二叉树(二叉树具体概念参见——二叉树详解)的顺序存储方式存储在一个一维数组中,并满足:Ki <= K2i+1 且 Ki<= K2i+2 (Ki >= K2i+1 且 Ki >= K2i+2) i = 0,1,2…,则称为小堆(或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆,根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

堆的性质:

  • 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值;
  • 堆总是一棵完全二叉树。

2.堆的实现

堆的实现请参见——二叉树详解(堆的实现)

2.1 堆的向下调整算法

(此文章都已建小堆为例)
向下调整算法前提:当前树左右子树都是小堆

核心思想:选出左右孩子中小的那个,和父亲交换,小的往上浮,大的往下沉,这里是小堆,如果是大堆则相反。

代码实现

void swap(int *x, int *y)
{
	int temp = *x;
	*x = *y;
	*y = temp;
}
//堆向下调整算法
void AdjustDown(int *a, int n, int root)
{
	int parent = root;
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child<n)
	{
		//保证孩子节点child为两个孩子中的最小值;保证不越界
		if (a[child] > a[child + 1] && child+1 < n)
			++child;
		if (a[child] < a[parent])
		{
			swap(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
			break;
	}
}

2.2 堆的向上调整算法

使用场景:向上调整算法适用于向堆中插入数据,当向堆中插入数据就可能会导致堆失去大堆或者小堆的性质,此时需要重新调整,向上调整的思路与向下调整算法的思路类似,向上调整算法只需要从插入结点位置开始和父节点比较。
图示:

代码实现:

void AdjustUp(int *a, int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0)
	{
		if (a[parent] > a[child])
		{
			swap(&a[parent], &a[child]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
			break;
	}
}

2.3 建堆(数组)

从最后一个非叶子节点位置行依次开始调整,如图:

代码实现:

int parent = (n-2) / 2;
	//首先对每一个非叶子节点进行一次向下调整算法,保证每个非叶子节点的
	//孩子都小于它的父节点,然后可得到最小值,就在堆的顶端的父节点(也叫做建小堆)
	while (parent >= 0)
	{
		AdjustDown(a, n, parent);
		--parent;
	}

2.4 堆排序

升序建大堆,降序建小堆

void HeapSort(int *a, int n)
{
	int parent = (n-2) / 2;
	//首先对每一个非叶子节点进行一次向下调整算法,保证每个非叶子节点的
	//孩子都小于它的父节点,然后可得到最小值,就在堆的顶端的父节点(也叫做建小堆)
	while (parent >= 0)
	{
		AdjustDown(a, n, parent);
		--parent;
	}
	int end = n-1;
	while (end>0)
	{
		//将堆顶的数与最后的end,以此循环,进行交换就可得到有序序列
		//注意:建小堆,得到降序序列
		swap(&a[end], &a[0]);
		AdjustDown(a, end, 0);
		--end;
	}
}

2.5 堆排序的时间复杂度

所以建堆时间复杂度为O(N);
向下调整算法时间复杂度 O(logN);
所以堆排序的时间复杂度为 O(N/*logN)

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