前言 - 为堆的学习做准备

二叉树的顺序存储

前面所讲的二叉树，什么孩子表示法呀，还有 孩子双亲表示法啊，都是链式存储。
而现在讲的是：顺序存储一棵二叉树。

存储方式

使用数组保存二叉树结构，方式即将二叉树用层序遍历的方式放入数组中。
一般只适合表示完全二叉树，因为 非完全二叉树会有空间的浪费。【也就是说：如果使用顺序存储来存储一棵二叉树，那么，最好是完全二叉树，这样就不会有太多的空间被浪费】
这种方式的主要用法就是堆的表示。

下标关系

已知双亲（parent）的下标，则：
左孩子（left）下标 = 2 * parent + 1；
右孩子（right）下标 = 2 * parent + 2；
已知孩子（不区分左右）（child）下标，则：
双亲（parent）下标 = （child - 1）/ 2；
就是我在 二叉树那篇 文章 所讲的 二叉树的第五个性质

堆 【heap】

概念

1、堆在逻辑上是一棵完全二叉树
2、堆在物理上是保存在数组中。
3、满足任意节点的值 都大于 自身所在树中根结点的值，叫做小堆，或者小根堆，或者是最小堆。【每棵二叉树的根结点 都小于 左右孩子结点 - 小堆 / 小根堆 / 最小堆】

4. 满足任意节点的值 都小于 自身所在树中根结点的值，叫做大堆，或者大根堆，或者是最大堆。【每棵二叉树的根结点 都大于 左右孩子结点 -大堆 / 大根堆 / 最大堆】

5. 堆的基本作用是，快速找集合中的最值
   无论是 大根堆还是小根堆， 它们的 最值【最大值 和 最小值】都处于 二叉树的 根结点处。要想获得 最值，直接 peek 方法，就能获得 树 的 根结点值 / 最值。
   这也是为什么说： 堆 是 优先级队列。
   所谓优先级队列：存入一个数据，是按照某种特殊规定来存储的。
   而这种规则就是刚刚讲的 大小根堆的特性。将最值放在最容易获取的位置。
   也就是说： 优先级队列 其 底层 是 一棵 完全二叉树 / 堆。

操作-向下调整

前提：左右子树必须已经是一个 堆 / 逻辑上是一棵完全二叉树。

实战 - 将一组 记录完全二叉树数据 的 数组 转换成 大根堆。

向下调整 - 结论

1. 调整是从最后一棵子树触发的
   2、每棵子树的调整都是向下调整。
   3、之所以称为向下调整，是因为 在 调整的过程中，根结点 是 跟 左右子树 进行交换，那么根结点是不是就下来了。所以才称为 向下调整【根结点的值，向下移动 / 与左右子树的值进行交换】。

问题

1、如何找到最后一棵子树

因为 堆 在 逻辑 上 是 一 棵 完全二叉树，物理上 其数据 是由数组保存的。
两者的共同点：完全二叉树的编号 与 数组下标 一致。
也就是说：我们只要获取数组的长度 len，那么 len -1 ，不就是 最后一棵子树的下标。
此时，我们是不是得到了一个 孩子结点 的 下标【child】？
根据 下标关系,我们就可以通过 孩子结点的下标，来获取 双亲节点 / 父 节点 的下标
parent == （child - 1）/ 2 》》parent == （（len - 1） - 1）/ 2

2、如何将所有树的调整成大根堆 【遍历 每棵 树的 根结点，因为向下调整需要知道根结点的】

很简单，既然我们通过 数组的长度，间接获取到了最后一棵子树的根结点【parent】，那么，我们直接 parent - - ，就可以获取所有子树，包括整棵树的根结点。

通过 双亲节点 parent 和 下标关系，我们就可以获取 其 左右子树的下标。
【 左子树：parent * 2 + 1；右子树：parent * 2 + 2】

每棵树的调整结束的位置，如何判定？

得出结论：其实每棵树的调整结束位置 都是一样的 ：不能超过 数组长度。【细品】

如何构造一个 向下调整的函数 - 重点

// 向下调整
    public void shiftDown(int parent,int len){
        int child = parent * 2 + 1;// 左孩子
        // 能进入该循环，说明 这个 parent 只少有一个孩子。
        while(child < len){
            // 获取 左右孩子的最大值
            if(child+1 < len &&this.elements[child] < this.elements[child+1]){
                child++;
            }
            // 判断 孩子最大值 是否 比  双亲节点 val 值 大
            // 如果大，就需要进行交换
            if(this.elements[child] > this.elements[parent]){
                int tmp = elements[child];
                elements[child] = elements[parent];
                elements[parent] = tmp;
                
                // 见附图
                parent = child;
                child = parent * 2 + 1;
            }else{
                break;
            }
        }
    }

附图

模拟实现 堆 - 程序框架

import java.util.Arrays;

public class Heap {
    public int[] elements;// 底层数组
    public int usedSize;// 有效元素个数
    // 构造方法
    public Heap(int[] elements){
        // 数组初始化容量
        this.elements = new int[10];
    }
     // 创建堆，获取 输入数组 的 数据
    public void creationHeap(int[] array){
        this.usedSize += array.length;
        if(isFull()){
            this.elements = Arrays.copyOf(this.elements,this.elements.length*2);
        }
        this.elements = Arrays.copyOf(array,array.length);

        for(int parent = (this.usedSize -1 - 1)/2 ;parent >= 0;parent--){
            // 向下调整
            shiftDown(parent,this.usedSize);
        }
    }
    // 向下调整
    public void shiftDown(int parent,int len){
        int child = parent * 2 + 1;// 左孩子
        // 能进入该循环，说明 这个 parent 只少有一个孩子。
        while(child < len){
            // 获取 左右孩子的最大值
            if(child+1 < len &&this.elements[child] < this.elements[child+1]){
                child++;
            }
            // 判断 孩子最大值 是否 比  双亲节点 val 值 大
            // 如果大，就需要进行交换
            if(this.elements[child] > this.elements[parent]){
                int tmp = elements[child];
                elements[child] = elements[parent];
                elements[parent] = tmp;

                // 见附图
                parent = child;
                child = parent * 2 + 1;
            }else{
                break;
            }
        }
    }
}

模拟实现 堆 的 时间复杂度

堆的应用 - 优先级队列

概念

在很多应用中，我们通常需要按照优先级情况 对待处理对象 进行处理，比如说首先处理优先级最高的对象，然后处理 次高的对象。
举个最简单的例子就是：

直接调用 优先级队列，系统默认生成是 小根堆。

下面我们就来实践。首先创建一个 优先级队列 / 堆。

按住 Ctrl ，左键点击框选部分，进入该类的内部。
按一下 alt + 7，就会弹出功能菜单，如下图所示：【现在先关注队列的功能】

利用 offer 来给 优先级队列 / 堆 提供数据。再来通过 peek 方法 来观察 队头元素 / 堆的根结点，如果为 最小值，那么说 优先级队列默认是小根堆，反之，就是大根堆。

所谓优先级队列：不管是出队，还是入队。都得保证当前是大根堆 或者 小根堆。

优先级队列 - 入队 和 出队 过程

大根堆情况 （向上调整）

1、 首先按尾插方式放入数组
2、 比较其 和 其双亲的值 的 大小，如果双亲的值大，则满足堆的性质，插入结束
3、 否则，交换其和双亲位置的值，重新进行 2、3 步骤
4.、直到根结点

我们将其过程称为 向上调整。
向上调整：只需要一个参数【需要调整的 child 下标】

模拟实现 堆 - offer 功能 - 入队

// 入队操作
    public void offer(int val){
        if(isFull()){
            // 扩容
            this.elements = Arrays.copyOf(this.elements,this.elements.length * 2);
        }
        elements[usedSize++] = val;
        //usedSize++;
        shiftUp(usedSize-1);// 有效元素个数 是 usedSize,最后一个元素的下标是 usedSize -1
    }
    private void shiftUp(int child){
        int parent = (child - 1)/2;
        while(child > 0){
            if(this.elements[child] > this.elements[parent]){
                int tmp = this.elements[child];
                this.elements[child] = this.elements[parent];
                this.elements[parent] = tmp;
                child = parent;
                parent = (child - 1) / 2;
            }else{
                break;
            }
        }
    }
    public boolean isFull(){
        return this.usedSize >= this.elements.length;
    }

模拟实现 堆 - poll 功能 - 出队

分析

代码如下

// 出队操作
    public int poll(){
        if(isEmpty()){
            throw new RuntimeException("优先级队列为空！");
        }
        int tmp = this.elements[0];
        this.elements[0] = this.elements[this.usedSize -1];
        this.elements[this.usedSize - 1] = tmp;
        this.usedSize--;
        shiftDown(0,usedSize);
        return tmp;
    }

    // 判断队列 空不空
    public boolean isEmpty(){
        return this.usedSize == 0;
    }

模拟实现 堆 - peek 功能 - 返回队头元素

// 判断队列 空不空
    public boolean isEmpty(){
        return this.usedSize == 0;
    }
    public int peek(){
        if(isEmpty()){
            throw new RuntimeException("优先级队列为空！");
        }
        return this.elements[0];
    }

模拟实现 堆 【总程序】

import java.util.Arrays;

public class Heap {
    public int[] elements;// 底层数组
    public int usedSize;// 有效元素个数
    // 构造方法
    public Heap(){
        // 数组初始化容量
        this.elements = new int[10];
    }
     // 创建堆，获取 输入数组 的 数据
    public void creationHeap(int[] array){
        this.usedSize += array.length;
        if(isFull()){
            this.elements = Arrays.copyOf(this.elements,this.elements.length*2);
        }
        this.elements = Arrays.copyOf(array,array.length);

        for(int parent = (this.usedSize -1 - 1)/2 ;parent >= 0;parent--){
            // 向下调整
            shiftDown(parent,this.usedSize);
        }
    }
    // 向下调整
    public void shiftDown(int parent,int len){
        int child = parent * 2 + 1;// 左孩子
        // 能进入该循环，说明 这个 parent 只少有一个孩子。
        while(child < len){
            // 获取 左右孩子的最大值
            if(child+1 < len &&this.elements[child] < this.elements[child+1]){
                child++;
            }
            // 判断 孩子最大值 是否 比  双亲节点 val 值 大
            // 如果大，就需要进行交换
            if(this.elements[child] > this.elements[parent]){
                int tmp = elements[child];
                elements[child] = elements[parent];
                elements[parent] = tmp;

                // 见附图
                parent = child;
                child = parent * 2 + 1;
            }else{
                break;
            }
        }
    }

    // 入队操作
    public void offer(int val){
        if(isFull()){
            // 扩容
            this.elements = Arrays.copyOf(this.elements,this.elements.length * 2);
        }
        elements[usedSize++] = val;
        //usedSize++;
        shiftUp(usedSize-1);// 有效元素个数 是 usedSize,最后一个元素的下标是 usedSize -1
    }
    private void shiftUp(int child){
        int parent = (child - 1)/2;
        while(child > 0){
            if(this.elements[child] > this.elements[parent]){
                int tmp = this.elements[child];
                this.elements[child] = this.elements[parent];
                this.elements[parent] = tmp;
                child = parent;
                parent = (child - 1) / 2;
            }else{
                break;
            }
        }
    }
    // 判断队列满没满
    public boolean isFull(){
        return this.usedSize >= this.elements.length;
    }

    // 出队操作
    public int poll(){
        if(isEmpty()){
            throw new RuntimeException("优先级队列为空！");
        }
        int tmp = this.elements[0];
        this.elements[0] = this.elements[this.usedSize -1];
        this.elements[this.usedSize - 1] = tmp;
        this.usedSize--;
        shiftDown(0,usedSize);
        return tmp;
    }

    // 判断队列 空不空
    public boolean isEmpty(){
        return this.usedSize == 0;
    }
    public int peek(){
        if(isEmpty()){
            throw new RuntimeException("优先级队列为空！");
        }
        return this.elements[0];
    }

}

堆的其他应用-TopK 问题

给我们一百万个数据，让你找到前10个最大的元素。
目前来说：我们知道堆排序时间复杂度 最快： log2 N * N；最慢： N

思路一 ：整体排序

对整体进行排序，输出前10个最大的元素。
对整体排序这不是一个非常好的思路！
99%的人都能想出来：直接对底层数组进行排序，输出前10个最大的元素。
这样做，出这题的意义就不大。

思路二 ： 利用堆来实现 【这还不是Topk 问题，这里只是打底】

用堆来解决。
思路：将数据建成大根堆。
假设，建好的大根堆如下图所示：

假设，我们要在这个堆上找到 前三个 最大值，该怎么做？

思路二 ：Topk思路

还是跟思路二一样，去求一组数据的前三个最大值。

总结：

1、如果求前K个最大的元素，要建一个小根堆。
2、如果求 前K个最小的元素，要建一个大根堆。
3、如果是求第k大的元素，建一个小堆，小根堆 堆顶的元素就是第k大的元素。
4、如果是求第k小的元素，建一个大堆，大根堆 堆顶的元素就是第k小的元素。

在做实战题之前，我们需要先学习这篇文章Java 对象 的 比较

模拟topK问题【求一组数据的前k个最小值】，并解决它

import java.util.Arrays;
import java.util.Comparator;
import java.util.PriorityQueue;

public class TopK {
    /*
    * 求数组中的前 k 个 最小元素
    * @param array
    * @param  k
    * @return
    * */
    public static int[] topK(int[] array,int k){
        // 创建一个大小为 k 的 大根堆
        PriorityQueue<Integer> maxHeap = new PriorityQueue<>(k, new Comparator<Integer>() {
            @Override
            public int compare(Integer o1, Integer o2) {
                return o2 - o1;
            }
        });
        for(int i = 0;i <array.length;i++){
            if(maxHeap.size() < k){
                maxHeap.offer(array[i]);
            }else{
                // 从第 k + 1 个元素开始，每个元素都要和 堆顶元素进行比较。
                // 如果 比 堆顶元素小，则与堆顶元素交换，
                int top = maxHeap.peek();
                if(top > array[i]){
                    maxHeap.poll();// 先将堆顶元素弹出，优先级队列会自行调整一下
                    maxHeap.offer(array[i]);// 后面入队也是一样，也会自行调整一下
                }
            }
        }
        // 此时 maxHeap 堆里，存储的是 前 k  个最小的 值
        // 现在要做的是 将其 转换称是数组，返回
        int[] tmp =  new int[k];
        for(int i = 0;i < k;i++){
            tmp[i] = maxHeap.poll();
        }
        return tmp;
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] array = {18,21,8,10,34,12};
        int[] tmp =topK(array,3);// 求前三个最小值
        System.out.println(Arrays.toString(tmp));
    }
}

实战题 - LeetCode - 373. 查找和最小的 K 对数字

题目分析

给了我们两个升序(元素顺序：从小到大)数组 num1 和 num2，让我们分别从 num1 和 num2 中，各自选取 一个 数据，让其 组成 k 个 两个数之和最小 的 组合。
选取的数可以重复利用。

解题 思维

代码如下

class Solution {
    public List<List<Integer>> kSmallestPairs(int[] nums1, int[] nums2, int k) {
    // 创建 一个大小为 k 的 大根堆
        PriorityQueue<List<Integer>> maxHeap = new PriorityQueue<>(k,new Comparator<List<Integer>>(){
            @Override
            public int compare(List<Integer> o1,List<Integer> o2){
                return ((o2.get(0) + o2.get(1)) - (o1.get(0) + o1.get(1)));
            }
        }); 
        // 我们不需要将数组 num1 和 num2 遍历完
        // 因为 这两个数组是升序，前k个最小数对，一定是 有 num1 和 num2 前k 个元素 组成的。
        for(int i = 0;i < Math.min(nums1.length,k);i++){
            for(int j = 0;j < Math.min(nums2.length,k);j++){
                  // 先放入 k 个 数对
                if(maxHeap.size()< k){
                    List<Integer> tmpList = new ArrayList<>();
                    tmpList.add(nums1[i]);
                    tmpList.add(nums2[j]);
                    maxHeap.offer(tmpList);
                }else{// 从 k +1 个 数对，开始判断
                    int top = maxHeap.peek().get(0) +maxHeap.peek().get(1);
                    if(top >(nums1[i] + nums2[j])){
                        // 弹出
                        maxHeap.poll();
                        List<Integer> tmpList = new ArrayList<>();
                        tmpList.add(nums1[i]);
                        tmpList.add(nums2[j]);
                        
                        // 入队
                        maxHeap.offer(tmpList);
                    }
                }
            }
        }
        // 为返回值做准备
        List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
        // 循环判断条件，需要加上 一个判断 堆是不是为空
        // 根据示例三：两个数组元素 可能存在 不足以构成 k 个最小数对 的情况
        for(int i = 0; i < k && !maxHeap.isEmpty();i++ ){
            result.add(maxHeap.poll());
        }
        return result;
    }
}

堆排序

总结

1、将数据调整为 大根堆、
2、0 下标 与 最后一个未排序的元素进行交换即可。
3、循环上述两个操作，直至 最后一个未排序的元素 下标为 0.。

实战 - 堆排序

public void heapTraversal(){
        // 最后一个未排序元素的下标
        int last = this.elements.length - 1;
        while(last > 0){
            int tmp = this.elements[0];
            this.elements[0] = this.elements[last];
            this.elements[last] = tmp;
            shiftDown(0,last);
            last--;
        }
    }
        // 向下调整
    public void shiftDown(int parent,int len){
        int child = parent * 2 + 1;// 左孩子
        // 能进入该循环，说明 这个 parent 只少有一个孩子。
        while(child < len){
            // 获取 左右孩子的最大值
            if(child+1 < len &&this.elements[child] < this.elements[child+1]){
                child++;
            }
            // 判断 孩子最大值 是否 比  双亲节点 val 值 大
            // 如果大，就需要进行交换
            if(this.elements[child] > this.elements[parent]){
                int tmp = elements[child];
                elements[child] = elements[parent];
                elements[parent] = tmp;

                // 见附图
                parent = child;
                child = parent * 2 + 1;
            }else{
                break;
            }
        }
    }

本文结束