一 点睛

在生成树的过程中，把已经在生成树中的节点看作一个集合，把剩下的节点看作另外一个集合，从连接两个集合的边中选择一条权值最小的边即可。

二 算法介绍

首先任选一个节点，例如节点1，把它放在集合 U 中，U={1},那么剩下的节点为 V-U={2,3,4,5,6,7},集合 V 是图的所有节点集合。

现在只需要看看连接两个集合（U 和 V-U）的边中，哪一条边的权值最小，把权值最小的边关联的节点加入集合 U 中。从上图可以看出，连接两个集合的 3 条边中，1-2 边的权值最小，选中它，把节点 2 加入集合 U 中，U={1,2}，V - U={3,4,5,6}，如下图所示。

再从连接两个集合（U 和 V-U）的边中选择一条权最小的边。从上图看出，在连接两个集合的4条边中，节点2到节点7的边权值最小，选中这条边，把节点7加入集合U={1,2,7}中，V-U={3,4,5,6}。

如此下去，直到 U=V 结束，选中的边和所有的节点组成的图就是最小生成树。这就是 Prim 算法。

直观地看图，很容易找出集合 U 到 集合 U-V 的边中哪条边的权值是最小的，但在程序中穷举这些边，再找最小值，则时间复杂度太高。可以通过设置数组巧妙解决这个问题，closet[j] 表示集合 V-U 中的节点 j 到集合 U 中的最邻近点，lowcost[j] 表示集合 V-U 中节点 j 到集合 U 中最邻近点的边值，即边(j,closest[j]) 的权值。

例如在上图中，节点 7 到集合 U 中的最邻近点是2，cloeest[7]=2。节点 7 到最邻近点2 的边值为1，即边(2,7)的权值，记为 lowcost[7]=1,如下图所示。

所以只需在集合 V - U 中找到 lowcost[] 只最小的节点即可。

三 算法步骤

1 初始化

令集合 U={u0}，u0 属于 V，并初始化数组 closest[]、lowcost[]和s[]。

2 在集合 V-U 中找 lowcost 值最小的节点t，即 lowcost[t]=min{lowcost[j]},j 属于 V-U，满足该公式的节点 t 就是集合 V-U 中连接 U 的最邻近点。

3 将节点 t 加入集合 U 中。

4 如果集合 V - U 为空，则算法结束，否则转向步骤 5。

5 对集合 V-U 中的所有节点 j 都更新其 lowcost[] 和 closest[]。if(C[t][j]<lowcost[j]){lowcost[j]=C[t][j];closest[j]=t;},转向步骤2。

按照上面步骤，最终可以得到一棵权值之和最小的生成树。

四 图解

图 G=（V,E）是一个无向连通带权图，如下图所示。

1 初始化。假设 u0=1，令集合 U={1},集合 V-U={2,3,4,5,6,7},s[1]=true，初始化数组 closest[]：除了节点1，其余节点均为1，表示集合 V-U 中的节点到集合 U 的最邻近点均为1.lowcost[]:节点1到集合 V-U 中节点的边值。closest[] 和 lowcost[] 如下图所示。

初始化后的图为：

2 找 lowcost 最小的节点，对应的 t=2，选中的边和节点如下图。

3 加入集合U中。将节点 t 加入集合 U 中，U={1,2}，同时更新 V-U={3,4,5,6,7}

4 更新。对 t 在集合 V-U 中的每一个邻接点 j,都可以借助 t 更新。节点 2 的邻接点是节点 3 和节点7。
C[2][3]=20<lowcost[3]=无穷大，更新最邻近距离 lowcost[3]=20,最邻近点 closest[3]=2;

C[2][7]=1<lowcost[7]=36，更新最邻近距离 lowcost[7]=1,最邻近点 closest[7]=2;

更新后的 closest[] 和 lowcost[] 如下图所示。

更新后的集合如下图所示：

5 找 lowcost 最小的节点，对应的 t=7，选中的边和节点如下图。

6  加入集合U中。将节点 t 加入集合 U 中，U={1,2,7}，同时更新 V-U={3,4,5,6}

7 更新。对 t 在集合 V-U 中的每一个邻接点 j,都可以借助 t 更新。节点 7 的邻接点是节点 3、4、5、6。
C[7][3]=4<lowcost[3]=20，更新最邻近距离 lowcost[3]=4,最邻近点 closest[3]=7;

C[7][4]=4<lowcost[4]=无穷大，更新最邻近距离 lowcost[3]=9,最邻近点 closest[4]=7;

C[7][5]=4<lowcost[5]=无穷大，更新最邻近距离 lowcost[3]=16,最邻近点 closest[5]=7;

C[7][6]=4<lowcost[6]=28，更新最邻近距离 lowcost[3]=25,最邻近点 closest[6]=7;

更新后的 closest[] 和 lowcost[] 如下图所示。

更新后的集合如下图所示：

8 找 lowcost 最小的节点，对应的 t=3，选中的边和节点如下图。

9 加入集合U中。将节点 t 加入集合 U 中，U={1,2,3,7}，同时更新 V-U={4,5,6}

10 更新。对 t 在集合 V-U 中的每一个邻接点 j,都可以借助 t 更新。节点 3 的邻接点是节点 4。
C[3][4]=15>lowcost[4]=9，不更新

closest[] 和 lowcost[] 数组不改变。

更新后的集合如下图所示：

11 找 lowcost 最小的节点，对应的 t=4，选中的边和节点如下图。

12 加入集合U中。将节点 t 加入集合 U 中，U={1,2,3,4,7}，同时更新 V-U={5,6}

13 更新。对 t 在集合 V-U 中的每一个邻接点 j,都可以借助 t 更新。节点 4 的邻接点是节点 5。
C[4][5]=3<lowcost[5]=16，更新最邻近距离 lowcost[5]=3,最邻近点 closest[5]=4;

更新后的 closest[] 和 lowcost[] 如下图所示。

更新后的集合如下图所示：

14 找 lowcost 最小的节点，对应的 t=5，选中的边和节点如下图。

15 加入集合U中。将节点 t 加入集合 U 中，U={1,2,3,4,5,7}，同时更新 V-U={6}

16 更新。对 t 在集合 V-U 中的每一个邻接点 j,都可以借助 t 更新。节点 5 的邻接点是节点 6。
C[5][6]=17<lowcost[6]=25，更新最邻近距离 lowcost[6]=17,最邻近点 closest[6]=5;

更新后的集合如下图所示：

17 找 lowcost 最小的节点，对应的 t=6，选中的边和节点如下图。

18 加入集合U中。将节点 t 加入集合 U 中，U={1,2,3,4,5,6,7}，同时更新 V-U={}

19 更新。对 t 在集合 V-U 中的每一个邻接点 j,都可以借助 t 更新。节点 6 在集合 V-U 中无邻接点。不用更新 closest[] 和 lowcost[] 。

20 得到的最小生成树如下。最小生成树的权值之和为 57.