数据结构之堆的相关知识详解
堆的概念及结构
用数组存储表示的完全二叉树
小根堆：树中所有父亲都小于等于孩子，根是最小值
大根堆：树中所有父亲都大于等于孩子，根是最大值
堆的性质：
堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
堆总是一棵完全二叉树。
堆的实现
堆向下调整算法
我们给出一个数组，逻辑上看做一颗完全二叉树。我们通过从根节点开始的向下调整算法可以把它调整成一个小堆。向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆，才能调整。
int array[] = {27,15,19,18,28,34,65,49,25,37};
上图为向下调整算法调整为小堆的图解
1、从根开始，不断往下调
2、选出左右孩子中较小的，跟父亲比较，如果比父亲小，跟父亲交换，以小的孩子位置继续往下调。如果比父亲大，则停止
代码如下：
void swap(int *p1,int *p2)
{
int temp=*p1;
*p1=*p2;
*p2=temp;
}
void AdjustDown(int *a,int n,int parent)
{
int child=parent*2+1; //左孩子，左孩子+1即为右孩子
while(child<n)
{
//选择出左右孩子中较小/大的那个
//小堆
if(child+1<n && a[child+1]<a[child])//右孩子存在(防止越界)且如果右孩子比左孩子小
{
child++;//那就下标来到右孩子
}
if(a[child]<a[parent])//小的孩子小于父亲就交换，继续调整
{
swap(&a[parent],&a[child]);
parent=child;
child=parent*2+1;
}
else//小的孩子比父亲大或相等，则不处理，调整结束
{
break;
}
}
}堆向上调整算法
void swap(int *p1,int *p2)
{
int temp=*p1;
*p1=*p2;
*p2=temp;
}
void AdjustUp(HPDataType *a,int child)
{
int parent = (child-1)/2;
//while(parent>=0) 不对的，parent不会小于0
while(child > 0)
{
if(a[parent]<a[child])
{
swap(&a[parent],&a[child]);
child=parent;
parent=(child-1)/2;
}
else
{
break;
}
}
}向上调整算法我们找当前结点的父亲，假如我们调小堆时，如果父亲结点值大于它，则交换，然后进行迭代继续调整，注意我们进行迭代的条件是child>0，如果父亲结点值小于它，则调整结束，此时它已经是小堆
堆的创建
那么如果不满足左右子树是堆，不能直接用向下调整算法，怎么办呢？下面我们给出一个数组，这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树，但是还不是一个堆，现在我们通过算法，把它构建成一个堆。根节点左右子树不是堆，我们怎么调整呢？这里我们从倒数的第一个非叶子节点的子树开始调整，一直调整到根节点的树，就可以调整成堆。
int array[] = {2,5,8,6,4,7};
建堆代码：
- 向下调整算法建堆：
void swap(int *p1,int *p2)
{
int temp=*p1;
*p1=*p2;
*p2=temp;
}
void AdjustDown(int *a,int n,int parent)
{
int child=parent*2+1; //左孩子，左孩子+1即为右孩子
while(child<n)
{
//选择出左右孩子中较小/大的那个
//小堆
if(child+1<n && a[child+1]<a[child])//右孩子存在(防止越界)且如果右孩子比左孩子小
{
child++;//那就下标来到右孩子
}
if(a[child]<a[parent])//小的孩子小于父亲就交换，继续调整
{
swap(&a[parent],&a[child]);
parent=child;
child=parent*2+1;
}
else//小的孩子比父亲大或相等，则不处理，调整结束
{
break;
}
}
}
int main()
{
int a[]={2,5,8,6,4,7};
int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]);
//1、建堆
int i=0;
//为了满足向下调整条件，从最后一个非叶子结点开始调整，从下往上调整
for(i=(n-1-1)/2;i>=0;--i)//最后一个结点的父亲是最后一个非叶子结点
{
AdjustDown(a,n,i);//O(N)
}
}我们从倒数的第一个非叶子节点的子树开始调整，一直调整到根节点的树，就可以调整成堆
- 向上调整算法建堆
void swap(int *p1,int *p2)
{
int temp=*p1;
*p1=*p2;
*p2=temp;
}
void AdjustUp(HPDataType *a,int child)
{
int parent = (child-1)/2;
//while(parent>=0) 不对的，parent不会小于0
while(child > 0)
{
if(a[parent]<a[child])
{
swap(&a[parent],&a[child]);
child=parent;
parent=(child-1)/2;
}
else
{
break;
}
}
}
int main()
{
int a[]={2,5,8,6,4,7};
int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]);
for(int i=0;i<n;i++)
{
AdjustUp(a,i);
}
return 0;
}向上调整算法我们从第一个结点开始调整，直到最后一个结点
建堆的时间复杂度
因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，此处为了简化使用满二叉树来证明(时间复杂度本来看的就是近似值，多几个节点不影响最终结果)：
*每层结点个数/最坏情况向下的调整次数
因此，建堆的时间复杂度为O(N)。
堆的结构
typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{
HPDataType* _a;
int _size;
int _capacity;
}Heap;我们给出一个_a指针指向动态开辟的内存，这块内存用来存储数据，_size用来保存当前数据的个数，_capacity用来保存当前的容量
堆的构建
// 堆的构建
void HeapCreate(Heap* hp, HPDataType* a, int n)
{
assert(hp);
hp->_a = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType) * n);
if (hp->_a == NULL)
{
perror("malloc");
return;
}
memcpy(hp->_a, a, (sizeof(HPDataType) * n));
hp->_size = hp->_capacity = n;
//建堆
for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
{
AdjustDown(hp->_a, n, i);
}
}我们构建堆时，可以将初始化的数据以参数形式传进来，利用memcpy函数进行拷贝，将size和capacity进行更新，并进行建堆
堆的销毁
// 堆的销毁
void HeapDestory(Heap* hp)
{
assert(hp);
free(hp->_a);
hp->_a = NULL;
hp->_capacity = hp->_size = 0;
}堆的插入
//插入x，保持它继续是堆
void HeapPush(HP* php,HPDataType x)
{
assert(php);
//首先看数组空间够不够，不够就要扩容
if(php->size==php->capacity)
{
HPDataType* temp = (HPDataType*)realloc(php->a,php->capacity*2*sizeof(HPDataType));
if(temp==NULL)
{
perror("malloc");
return;
}
php->capacity*=2;
php->a=temp;
}
php->a[size]=x;
php->size++;
AdjustUp(php->a,php->size-1);
}在进行插入时，我们首先要看数组空间够不够，不够就要扩容，我们每次扩容两倍，扩容完成后，将数组最后元素后面的位置添加新元素，因为我们还要保持继续是堆，故我们将它向上调整一次
堆的删除
//删除堆顶的数据，删除后保持它继续是堆
void HeapPop(HP* php)
{
assert(php);
assert(!HeapEmpty(php));
swap(&php->a[0],&php->a[php->size-1]);
php->size--;
AdjustDown(php->a,php->size,0);
}
1.将堆顶元素与堆中最后一个元素进行交换
2.删除堆中最后一个元素
3.将堆顶元素向下调整到满足堆特性为止
取堆顶的数据
// 取堆顶的数据
HPDataType HeapTop(Heap* hp)
{
assert(hp);
return hp->_a[0];
}堆的数据个数
// 堆的数据个数
int HeapSize(Heap* hp)
{
assert(hp);
return hp->_size;
}堆的判空
// 堆的判空
int HeapEmpty(Heap* hp)
{
assert(hp);
return hp->_size == 0;
}堆的打印
void HeapPrint(Heap* hp)
{
assert(hp);
for (int i = 0; i < hp->_size; i++)
{
printf("%d ", hp->_a[i]);
}
printf("\n");
}堆的应用
堆排序
堆排序分两个步骤：
1、建堆
2、排序
那么我们排升序建大堆还是建小堆呢？答案是建大堆。
升序为什么不能建小堆呢？
建堆选出最小的数，花了O(N)的时间复杂度，紧接着如何选次小的数呢？剩下的数父子关系全乱了，向下调整需要满足左右子树都是堆，但是关系都乱了，左右子树可能都不满足向下调整的条件了，故剩下的N-1个数只能重新建堆，效率太低了
升序建大堆
1、选出了最大的数，把最大的数与最后的数交换
2、紧接着选出次大的数，与倒数第二个位置的数交换…
因为堆结构没有破坏，最后一个数不看作堆里面，左右子树依旧是大堆，向下调整即可，选出第二大
建大堆完成后，排序的步骤如图：
排序代码如下：
#include<stdio.h>
void swap(int *p1,int *p2)
{
int temp=*p1;
*p1=*p2;
*p2=temp;
}
//左右子树都是小堆或者大堆
void AdjustDown(int *a,int n,int parent)
{
int child=parent*2+1; //左孩子，左孩子+1即为右孩子
while(child<n)
{
//选择出左右孩子中较小/大的那个
//小堆
if(child+1<n && a[child+1]>a[child])//右孩子存在(防止越界)且如果右孩子比左孩子小
{
child++;//那就下标来到右孩子
}
if(a[child]>a[parent])//小的孩子小于父亲就交换，继续调整
{
swap(&a[parent],&a[child]);
parent=child;
child=parent*2+1;
}
else//小的孩子比父亲大或相等，则不处理，调整结束
{
break;
}
}
}
//排序(升序)，排升序要建大堆，排降序要建小堆
void HeapSort(int *a,int n)
{
//1、建堆
int i=0;
//为了满足向下调整条件，从最后一个非叶子结点开始调整，从下往上调整
for(i=(n-1-1)/2;i>=0;--i)//最后一个结点的父亲是最后一个非叶子结点
{
AdjustDown(a,n,i);//O(N)
}
//2、排序
int end=n-1;
while(end>0)
{
swap(&a[0],&a[end]);
AdjustDown(a,end,0);//O(nlogn)，一次向下调整为层数次 即logn次，while循环一共调整n次，故是nlogn
end--;
}
}
int main()
{
int a[]={2,5,8,6,4,7};
int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]);
HeapSort(a,n);
int i =0;
for(i=0;i<n;i++)
{
printf("%d ",a[i]);
}
return 0;
}*堆排序时间复杂度O(N/logN)
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