堆(优先级队列)

1.二叉树的顺序存储

1.1 存储方式

使用数组保存二叉树结构，方式即将二叉树用层序遍历方式放入数组中。
一般只适合表示完全二叉树，因为非完全二叉树会有空间的浪费。
这种方式的主要用法就是堆的表示。

1.2 下标的关系

1. 如果 已知双亲下标(parent) ,则:
   左孩子的下标(left child) = 2 * parent + 1;
   右孩子的下标(right child) = 2 * parent + 2;
2. 如果 已知任意孩子下标(child),则:
   双亲的下标(parent) = ( child - 1 ) / 2;

2.堆

2.1 概念

1. 堆逻辑上是一棵完全二叉树
2. 堆物理上是保存在数组中
3. 满足任意结点的值都大于其子树中结点的值，叫做大堆，或者大根堆，或者最大堆
4. 反之，则是小堆，或者小根堆，或者最小堆
5. 堆的基本作用是，快速找集合中的最值

3.模拟实现PriorityQueue

①基本操作

class TestHeap {
    public int[] elem;
    public int usedSize;

    public TestHeap(){
        this.elem = new int[10];
    }
}

②向下调整

思路:

代码实现:

//len是有效数据长度
    public void adjustDown(int root,int len) {
        int parent = root;
        int child = 2 * parent + 1;

        while(child < len){
            //找到左右孩子的最大值
            //1. 没有右孩子,左孩子就是最大.child下标下就是最大
            //2. 有右孩子,但是左孩子更大,即左孩子是最大.child下标下就是最大
            //3. 有右孩子,但是右孩子更大,即右孩子是最大.child+1 下标下就是最大
            if(child+1 < len && this.elem[child] < this.elem[child+1]){
                child++;
            }
            //此时child下标下就是最大值.
            if(this.elem[child] > this.elem[parent]){
                int tmp = this.elem[child];
                this.elem[child] = this.elem[parent];
                this.elem[parent] = tmp;
                parent = child;
                child = 2 * parent + 1;
            }else {
                break;
            }
        }
    }

③建堆

建大堆 - 思路:
从最后一个数据的 双亲开始 向下调整. 每次调整完 让parent-- 直到调整到parent = 0;

/**
     * 建大堆
     * @param array
     */
    public void createHeap(int[] array){
    	//这一步相当于 数组的拷贝
        for (int i = 0; i < array.length; i++) {
            this.elem[i] = array[i];
            this.usedSize++;
        }
        //parent 就代表每颗子树的根节点
        for (int parent = (array.length-1-1)/2;parent >= 0; parent--) {
            adjustDown(parent,this.usedSize);
        }
    }

时间复杂度的分析:

④入队列

思路:从队尾入,每次入队列都要进行向上调整
向上调整:
① 如果插入的child比parent大 则需要交换
② 交换后需要让child = parent; parent = (child - ) / 2;
③ 如果插入的child比parent小 则不需要交换
④循环①②③操作,直到不需要交换或则 child<0结束循环.

代码实现:

public void adjustUp(int child){
    	//parent等于child的双亲
        int parent = (child - 1) / 2;

		//child>0进入循环
        while(child > 0) {
            if (this.elem[child] > this.elem[parent]){
                int tmp = this.elem[parent];
                this.elem[parent] = this.elem[child];
                this.elem[child] = tmp;
                child = parent;
                parent = (child - 1) / 2;
            }else {
            	//不需要交换直接跳出循环
                break;
            }
        }
    }

入队思路:
1.首先判断是否需要扩容
2.如果需要扩容则要先扩容然后插入,不需要扩容直接插入
3.插入后进行向上调整
代码实现:

public void push(int val){
        if(isFull()){
        	//扩容
            Arrays.copyOf(this.elem,2*this.elem.length);
        }
        //插入   向上调整
        this.elem[this.usedSize++] = val;
        adjustUp(usedSize - 1);
    }
	//判断是否满
    public boolean isFull(){
        return this.usedSize == this.elem.length;
    }

⑤出队列

出队列思路:
1.首先需要判断是否为空
2.为空直接返回
3.不为空,首先交换队首元素和队尾元素,然后从0下标开始进行向下调整.

代码实现:

//判断是否为空
    public boolean isEmpty(){
        return this.usedSize == 0;
    }
    public void pop(){
        if(!isEmpty()){
        	//不为空首先进行交换
            int tmp = this.elem[0];
            this.elem[0] = this.elem[usedSize - 1];
            this.elem[usedSize - 1] = tmp;
            this.usedSize--;
            //然后进行向下调整
            adjustDown(0,this.usedSize);
        }
    }

⑥堆排序

堆排序思路:
1.让end指向队尾元素
2.让队首元素和end交换
3.从0下标位置进行向下调整 然后end–;
4.重复以上操作直到end=0;

代码实现:

/**
     * 前提是要先创建大堆
     */
    public void heapSort() {
        int end = this.usedSize - 1;
        while(end > 0) {
            int tmp = this.elem[0];
            this.elem[0] = this.elem[end];
            this.elem[end] = tmp;
            adjustDown(0,end--);
        }
    }

4.堆的应用-优先级队列

4.1 java 中的优先级队列

PriorityQueue implements Queue

4.2 java 中堆的使用

注意:

1. 堆的默认大小是 11 默认为小堆
2. 可以指定堆的大小,可以指定堆为大小堆.

public static void main (String[] args) {
        //堆 默认是大小为11
        PriorityQueue<Integer> priorityQueue = new PriorityQueue<>();
        //默认是 小堆
        priorityQueue.add(1);
        priorityQueue.add(2);
        priorityQueue.add(3);
        System.out.println(priorityQueue);
    }

5. 集合框架中PriorityQueue的比较方式

集合框架中的PriorityQueue底层使用堆结构，因此其内部的元素必须要能够比大小，PriorityQueue采用了：
Comparble和Comparator两种方式。

1. Comparble是默认的内部比较方式，如果用户插入自定义类型对象时，该类对象必须要实现Comparble接
   口，并覆写compareTo方法
2. 用户也可以选择使用比较器对象，如果用户插入自定义类型对象时，必须要提供一个比较器类，让该类实现
   Comparator接口并覆写compare方法。

6.堆的其他应用-TopK 问题

TopK问题,找前K个最大(最小)的数.

用堆的思路:

1. 放入k个元素到堆中
   ①找前k个最大的数,建小堆.
   ②找前k个最小的数,建大堆.
2. 如果找的是前k个最大的数,先建小堆将k个元素放入堆中,然后让堆顶元素 和 后面的数比较,如果小于后面的数,就和堆顶元素交换,然后变成小堆继续此操作.
3. 反之则是找前k个最小的数.
4. 遍历结束后,堆中的元素就是要找的数

画图解析:

代码实现:

/**
     * 找前k个最大的元素
     * @param array
     * @param k
     */
    public static void topk2(int[] array,int k){
        PriorityQueue<Integer> maxHeap = new PriorityQueue<>(k, new Comparator<Integer>() {
            @Override
            public int compare(Integer o1, Integer o2) {
                return o1 - o2;//大堆
            }
        });
        for (int i = 0; i < array.length; i++) {
            if (maxHeap.size() < k) {
                maxHeap.offer(array[i]);
            } else {
                int top = maxHeap.peek();//获取队顶元素
                if (top < array[i]) {
                    maxHeap.poll();
                    maxHeap.offer(array[i]);
                }
            }
        }
        System.out.println(maxHeap);
    }
    /**
     * 找前k个最小的元素
     * @param array
     * @param k
     */
    public static void topk1(int[] array,int k){
        PriorityQueue<Integer> maxHeap = new PriorityQueue<>(k, new Comparator<Integer>() {
            @Override
            public int compare(Integer o1, Integer o2) {
                return o2 - o1;//大堆
            }
        });
        for (int i = 0; i < array.length; i++) {
            if (maxHeap.size() < k) {
                maxHeap.offer(array[i]);
            } else {
                int top = maxHeap.peek();//获取队顶元素
                if (top > array[i]) {
                    maxHeap.poll();
                    maxHeap.offer(array[i]);
                }
            }
        }
        System.out.println(maxHeap);
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] array = {1,3,2,6,5,78,22,15,28};//找前3个最大的数据.
        topk1(array,3);
        topk2(array,4);
    }

运行结果:

7.面试题—查找和最小的K对数字

LeetCode 373: 查找和最小的K对数字
描述:
给定两个以升序排列的整数数组 nums1 和 nums2 , 以及一个整数 k 。
定义一对值 (u,v)，其中第一个元素来自 nums1，第二个元素来自 nums2 。
请找到和最小的 k 个数对 (u1,v1), (u2,v2) … (uk,vk) 。
示例 1:
输入: nums1 = [1,7,11], nums2 = [2,4,6], k = 3
输出: [1,2],[1,4],[1,6]
解释: 返回序列中的前 3 对数：
[1,2],[1,4],[1,6],[7,2],[7,4],[11,2],[7,6],[11,4],[11,6]

解题思路:

1. 根据题意找最小的k对数字,建立大小为k的大堆
2. 如果堆没放满,直接放入堆中.
3. 如果堆放满了,每次需要和堆顶比较,如果小于堆顶,需要交换.
4. 遍历时注意,如果数组过大,遍历会超时,所以遍历次数可以优化为 只最多遍历到 k，而且要满足小于数组长度的要求.(i<k && i<nums.length)
5. 在遍历结束后,将数据插入list中的时候注意.可能堆没满.

代码实现:

class Solution {
    public List<List<Integer>> kSmallestPairs(int[] nums1, int[] nums2, int k) {
        PriorityQueue<List<Integer>> MaxHeap = new PriorityQueue<>(k, new Comparator<List<Integer>>() {
            @Override
            public int compare(List<Integer> o1, List<Integer> o2) {
                return (o2.get(0) + o2.get(1)) - (o1.get(0) + o1.get(1));
            }
        });
        // 只最多遍历到 k，而且要满足小于数组长度的要求
        for (int i = 0; i < nums1.length && i < k; i++) {
            for (int j = 0; j < nums2.length && j < k; j++) {
            	// 堆没满 首先放入堆中
                if (MaxHeap.size() < k){
                    List<Integer> list1 = new ArrayList<>();
                    list1.add(nums1[i]);
                    list1.add(nums2[j]);
                    MaxHeap.offer(list1);
                }else {
                    List<Integer> top = MaxHeap.peek();
                    int topValue = top.get(0) + top.get(1);
					//堆满了后要进行比较,大于堆顶的值要出队然后把大于的数据入队
                    if(topValue > nums1[i] + nums2[j]){
                        MaxHeap.poll();
                        List<Integer> list1 = new ArrayList<>();
                        list1.add(nums1[i]);
                        list1.add(nums2[j]);
                        MaxHeap.offer(list1);
                    }
                }
            
            }
        }
        //将数据放入ret中要注意 可能堆没放满
        List<List<Integer>> ret = new ArrayList<>();
        for (int i = 0; i < k && !MaxHeap.isEmpty(); i++) {
            ret.add(MaxHeap.poll());
        }
        return ret;
    }
}