你不能通过POST或PUT把字符串作为对象传递。你的选择是把它 Package 成一个数据对象。
例如，更新的JS脚本：

function saveHealthCheck() {
    var cID = $('#<%= hfHealthCheck.ClientID %>').val();

    var jsonstr = {items:["Hello World!","Hello World2!"]};

    $.ajax({
        url: '<%= ResolveUrl("~/api/AppliesTo/") %>' + cID,
        dataType: 'application/json',
        data: JSON.stringify(jsonstr),
        type: 'PUT',
        success: function (data) {
            alert(data);
        }
     });
}

字符串
数据模型类：

public class MyItems
{
  public List<string> Items {get;set;}
}

型
更新API：

public List<string> Put(int id, [FromBody] MyItems items)
{
    //Just to test
    return items.Items;
}

型

我不知道为什么这与其他人的建议不同，但这是有效的。

JavaScript

function saveHealthCheck() {
    var cID = $('#<%= hfHealthCheck.ClientID %>').val();
    var jsonstr = { "id": cID, "apps": ["Hello World!", "Hello World2!"] };

    $.ajax({
        url: '<%= ResolveUrl("~/api/AppliesTo/") %>',
        dataType: 'application/json',
        data: jsonstr,
        type: 'PUT',
        success: function (data) {
            alert(data);
        }
     });
}

字符串

API

public List<string> Put([FromBody] MyItems items)
        {
            return items.apps;
        }

型

型号

public class MyItems
    {
        public int id { get; set; }
        public List<string> apps { get; set; }
    }

型
感谢您在解决这个问题上的投入。